4. assoc_laguerre

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function
<cmath>

std::assoc_laguerre(C++17)

namespace std {
  double
    assoc_laguerre(unsigned int n,
                   unsigned int m,
                   double x);              // (1) C++17
  floating-point-type
    assoc_laguerre(unsigned int n,
                   unsigned int m,
                   floating-point-type x); // (1) C++23

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    assoc_laguerre(unsigned int n,
                   unsigned int m,
                   Arithmetic x);          // (2) C++17

  float
    assoc_laguerref(unsigned int n,
                    unsigned int m,
                    float x);              // (3) C++17

  long double
    assoc_laguerrel(unsigned int n,
                    unsigned int m,
                    long double x);        // (4) C++17
}

概要

ラゲール陪多項式 (associated Laguerre polynomials) を計算する。

  • (1) :
    • C++17 : doubleに対するオーバーロード
    • C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
  • (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
  • (3) : float型規定
  • (4) : long double型規定

戻り値

引数 n, m, x のラゲール陪多項式 $$ L_n^m(x) = (-1)^m \frac{\mathrm d^m}{\mathrm dx^m} L_{m+n}(x) \quad \text{for } x \ge 0 $$ を返す。 右辺の $L$ はラゲール多項式 (laguerre)。

備考

  • n >= 128 || m >= 128 の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
  • (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

例

#include <cmath>
#include <iostream>

void p(unsigned n, unsigned m) {
  for (double x : {0., 1., 2.})
    std::cout << "assoc_laguerre(" << n << ", " << m << ", " << x << ") = " << std::assoc_laguerre(n, m, x) << "\n";
  std::cout << "\n";
}

int main() {
  p(0, 0); // L_0^0(x) = 1
  p(0, 1); // L_0^1(x) = 1
  p(1, 0); // L_1^0(x) = - x + 1
  p(1, 1); // L_1^1(x) = - x + 2
  p(2, 0); // L_2^0(x) = (x^2 - 4x + 2) / 2
  p(2, 1); // L_2^1(x) = (x^2 - 6x + 6) / 2
}

出力例

assoc_laguerre(0, 0, 0) = 1
assoc_laguerre(0, 0, 1) = 1
assoc_laguerre(0, 0, 2) = 1

assoc_laguerre(0, 1, 0) = 1
assoc_laguerre(0, 1, 1) = 1
assoc_laguerre(0, 1, 2) = 1

assoc_laguerre(1, 0, 0) = 1
assoc_laguerre(1, 0, 1) = 0
assoc_laguerre(1, 0, 2) = -1

assoc_laguerre(1, 1, 0) = 2
assoc_laguerre(1, 1, 1) = 1
assoc_laguerre(1, 1, 2) = 0

assoc_laguerre(2, 0, 0) = 1
assoc_laguerre(2, 0, 1) = -0.5
assoc_laguerre(2, 0, 2) = -1

assoc_laguerre(2, 1, 0) = 3
assoc_laguerre(2, 1, 1) = 0.5
assoc_laguerre(2, 1, 2) = -1

バージョン

言語

  • C++17

処理系

実装例

閉形式

$$ L_n^m(x) = \sum_{j=0}^n \frac{(m+n)!}{(m+j)! (n-j)!} \frac{(-x)^j}{j!} $$

漸化式

$$ L_n^m(x) = \frac{(2n + m - 1 - x)L_{n-1}^m(x) - (n + m - 1) L_{n-2}^m(x)}{n}; L_0^m(x) = 1, L_1^m(x) = -x + m + 1 $$

関連項目

参照