4. laguerre

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function
<cmath>

std::laguerre(C++17)

namespace std {
  double
    laguerre(unsigned int n,
             double x);              // (1) C++17
  floating-point-type
    laguerre(unsigned int n,
             floating-point-type x); // (1) C++23

  Promoted
    laguerre(unsigned int n,
             Arithmetic x);          // (2) C++17

  float
    laguerref(unsigned int n,
              float x);              // (3) C++17

  long double
    laguerrel(unsigned int n,
              long double x);        // (4) C++17
}

概要

ラゲール多項式 (Laguerre polynomials) を求める。

  • (1) :
    • C++17 : doubleに対するオーバーロード
    • C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
  • (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
  • (3) : float型規定
  • (4) : long double型規定

戻り値

引数 n, x のラゲール多項式 $$ L_n(x) = \frac{e^x}{n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (x^n e^{-x}) \quad \text{for } x \ge 0 $$ を返す。

備考

  • n >= 128 の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
  • (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

例

#include <cmath>
#include <iostream>

void p(unsigned n) {
  for (double x : {0., 1., 2.})
    std::cout << "laguerre(" << n << ", " << x << ") = " << std::laguerre(n, x) << "\n";
  std::cout << "\n";
}

int main() {
  p(0); // L0(x) = 1
  p(1); // L1(x) = -x + 1
  p(2); // L2(x) = (x^2 - 4x + 2) / 2
  p(3); // L3(x) = (-x^3 + 9x^2 - 18x + 6) / 6
}

出力例

laguerre(0, 0) = 1
laguerre(0, 1) = 1
laguerre(0, 2) = 1

laguerre(1, 0) = 1
laguerre(1, 1) = 0
laguerre(1, 2) = -1

laguerre(2, 0) = 1
laguerre(2, 1) = -0.5
laguerre(2, 2) = -1

laguerre(3, 0) = 1
laguerre(3, 1) = -0.666667
laguerre(3, 2) = -0.333333

バージョン

言語

  • C++17

処理系

実装例

閉形式

$$ L_n(x) = \sum_{j=0}^n \frac{n!}{j! (n-j)!} \frac{(-x)^j}{j!} $$

漸化式

$$ L_{n}(x) = \frac{(2n - 1 - x) L_{n-1}(x) - (n-1) L_{n-2}(x)}{n}; L_0(x) = 1, L_1(x) = -x + 1 $$

関連項目

参照