4. comp_ellint_1

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function
<cmath>

std::comp_ellint_1(C++17)

namespace std {
  double
    comp_ellint_1(double k);              // (1) C++17
  floating-point-type
    comp_ellint_1(floating-point-type k); // (1) C++23

  Promoted
    comp_ellint_1(Arithmetic k);          // (2) C++17

  float
    comp_ellint_1f(float k);              // (3) C++17

  long double
    comp_ellint_1l(long double k);        // (4) C++17
}

概要

第1種完全楕円積分 (complete elliptic integral of the first kind) を計算する。

  • (1) :
    • C++17 : doubleに対するオーバーロード
    • C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
  • (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
  • (3) : float型規定
  • (4) : long double型規定

戻り値

引数 k の第1種完全楕円積分 $$ K(k) = F(k, \pi/2) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}} \quad \text{for } |k| \le 1 $$ を返す。 $ F(k, \phi) $ は第1種不完全楕円積分 (ellint_1)。

備考

例

#include <cmath>
#include <iostream>

int main() {
  std::cout << "comp_ellint_1(0)   = " << std::comp_ellint_1(0) << "\n";    // π / 2
  std::cout << "comp_ellint_1(0.5) = " << std::comp_ellint_1(0.5) << "\n";  // 1.68575
  std::cout << "comp_ellint_1(1)   = " << std::comp_ellint_1(1) << "\n";    // ∞
}

出力例

comp_ellint_1(0)   = 1.5708
comp_ellint_1(0.5) = 1.68575
comp_ellint_1(1)   = nan

単振り子の周期と等時性の破れ

単振り子の周期$ T $は、第1種完全楕円積分$ K $を用いて、$ T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} K(\sin(\frac{\theta}{2})) $と書ける（$ l $は長さ、$ g $は重力加速度）。$ l = 1 [m]$の時の周期 $ T [s]$と、近似値$ T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$との比$T/T_0$を計算する例。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>

constexpr double pi = 3.141592653589793;
constexpr double g = 9.80665;

double pendulum_period(double l, double theta) {
  return 4.0 * std::sqrt(l/g) * std::comp_ellint_1(std::sin(theta/2.0));
}

double pendulum_period_shift(double theta) {
  return (2.0 * std::comp_ellint_1(std::sin(theta/2.0))) / pi;
}

int main() {
  std::cout << std::setprecision(16);

  for (const auto theta : {15.0, 30.0, 45.0, 60.0}) {
    const auto angle = theta * pi / 180.0;
    std::cout << theta << " [°] : ";
    std::cout << "T = " << pendulum_period(1.0, angle) << " [s], T/T0 = ";
    std::cout << pendulum_period_shift(angle) << '\n';
  }
}

出力例

15 [°] : T = 2.015038014606197 [s], T/T0 = 1.004300579173466
30 [°] : T = 2.041338465858369 [s], T/T0 = 1.017408797595956
45 [°] : T = 2.08661217983496 [s], T/T0 = 1.039973343196804
60 [°] : T = 2.153242351783843 [s], T/T0 = 1.073182007149365

バージョン

言語

  • C++17

処理系

備考

GCC (libstdc++)

GCC 7.1.0–8.0.0 では定義域エラーが発生したときに std::numeric_limits::quiet_NaN を返す。

実装例

級数

$$ K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right]^2 k^{2n} $$

関連項目

参照