std::hermite

namespace std {
  double
    hermite(unsigned int n,
            double x);              // (1) C++17
  floating-point-type
    hermite(unsigned int n,
            floating-point-type x); // (1) C++23

  Promoted
    hermite(unsigned int n,
            Arithmetic x);          // (2) C++17

  float
    hermitef(unsigned int n,
             float x);              // (3) C++17

  long double
    hermitel(unsigned int n,
             long double x);        // (4) C++17
}

概要

エルミート多項式 (Hermite polynomials) を求める。

• (1) :
  • C++17 : doubleに対するオーバーロード
  • C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
• (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
• (3) : float型規定
• (4) : long double型規定

戻り値

引数 n, x のエルミート多項式 $$H_n(x)=(-1{)}^n\exp (x^2)\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\exp (-x^2)$$ を返す。

備考

• n >= 128 の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
• (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

例

#include <cmath>
#include <iostream>

void p(unsigned n) {
  for (double x : {-1, 0, 1})
    std::cout << "hermite(" << n << ", " << x << ") = " << std::hermite(n, x) << "\n";
  std::cout << "\n";
}

int main() {
  p(0); // H0(x) = 1
  p(1); // H1(x) = 2x
  p(2); // H2(x) = 4x^2 - 2
  p(3); // H3(x) = 8x^3 - 12x
}

#include <cmath>

#include <iostream>

​

void p(unsigned n) {

  for (double x : {-1, 0, 1})

    std::cout << "hermite(" << n << ", " << x << ") = " << std::hermite(n, x) << "\n";

  std::cout << "\n";

}

​

int main() {

  p(0); // H0(x) = 1

  p(1); // H1(x) = 2x

  p(2); // H2(x) = 4x^2 - 2

  p(3); // H3(x) = 8x^3 - 12x

}

​

出力例

hermite(0, -1) = 1
hermite(0, 0) = 1
hermite(0, 1) = 1

hermite(1, -1) = -2
hermite(1, 0) = 0
hermite(1, 1) = 2

hermite(2, -1) = 2
hermite(2, 0) = -2
hermite(2, 1) = 2

hermite(3, -1) = 4
hermite(3, 0) = -0
hermite(3, 1) = -4

バージョン

言語

• C++17

処理系

• Clang: ??
• GCC: 7.1.0 ✅
• ICC: ??
• Visual C++: ??

実装例

閉形式

$$H_n(x)=n!\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{(-1{)}^j}{j!(n-2j)!}(2x{)}^{n-2j}$$

漸化式

$$H_n(x)=2x{H}_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x);H_0(x)=1,H_1(x)=2x$$

参照

• N3060 JTC1.22.29124 Programming Language C++ — Special Math Functions
• WG21 P0226R1 Mathematical Special Functions for C++17, v5
• ISO/IEC 29124:2010 Information technology -- Programming languages, their environments and system software interfaces -- Extensions to the C++ Library to support mathematical special functions
• P1467R9 Extended floating-point types and standard names
  • C++23で導入された拡張浮動小数点数型への対応として、float、double、long doubleのオーバーロードをfloating-point-typeのオーバーロードに統合し、拡張浮動小数点数型も扱えるようにした