4. hermite

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function
<cmath>

std::hermite(C++17)

namespace std {
  double
    hermite(unsigned int n,
            double x);              // (1) C++17
  floating-point-type
    hermite(unsigned int n,
            floating-point-type x); // (1) C++23

  Promoted
    hermite(unsigned int n,
            Arithmetic x);          // (2) C++17

  float
    hermitef(unsigned int n,
             float x);              // (3) C++17

  long double
    hermitel(unsigned int n,
             long double x);        // (4) C++17
}

概要

エルミート多項式 (Hermite polynomials) を求める。

  • (1) :
    • C++17 : doubleに対するオーバーロード
    • C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
  • (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
  • (3) : float型規定
  • (4) : long double型規定

戻り値

引数 n, x のエルミート多項式 $$ H_n(x) = (-1)^n \exp(x^2) \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \exp(-x^2) $$ を返す。

備考

  • n >= 128 の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
  • (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

例

#include <cmath>
#include <iostream>

void p(unsigned n) {
  for (double x : {-1, 0, 1})
    std::cout << "hermite(" << n << ", " << x << ") = " << std::hermite(n, x) << "\n";
  std::cout << "\n";
}

int main() {
  p(0); // H0(x) = 1
  p(1); // H1(x) = 2x
  p(2); // H2(x) = 4x^2 - 2
  p(3); // H3(x) = 8x^3 - 12x
}

出力例

hermite(0, -1) = 1
hermite(0, 0) = 1
hermite(0, 1) = 1

hermite(1, -1) = -2
hermite(1, 0) = 0
hermite(1, 1) = 2

hermite(2, -1) = 2
hermite(2, 0) = -2
hermite(2, 1) = 2

hermite(3, -1) = 4
hermite(3, 0) = -0
hermite(3, 1) = -4

バージョン

言語

  • C++17

処理系

実装例

閉形式

$$ H_n(x) = n! \sum_{j=0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \frac{(-1)^j}{j! (n - 2j)!} (2x)^{n - 2j} $$

漸化式

$$ H_n(x) = 2 x H_{n-1}(x) - 2 (n-1) H_{n-2}(x); H_0(x) = 1, H_1(x) = 2x $$

参照