linalg

<linalg>ヘッダでは、線形代数(linear algebra)に関する基礎的な演算アルゴリズムを提供する。 ベクトルや行列の成分にアクセスするアルゴリズムは、多次元配列ビュー std::mdspan を通してその要素にアクセスする。 本ヘッダが提供するエンティティは、すべて名前空間std::linalgに属する。

1次元データであるベクトル(vector)や2次元データである行列(matrix)に対して、線形代数分野のデファクトスタンダードとされる BLAS(Basic Linear Algebra Subprograms) 互換のアルゴリズム群、いくつかの LAPACK(Linear Algebra PACKage) 互換のアルゴリズムが提供される。 BLAS互換アルゴリズムは、演算対象データの次元数や計算オーダーに応じて3段階に区分される。

• Level 1 BLAS : ベクトルーベクトルの演算
• Level 2 BLAS : 行列ーベクトルの演算
• Level 3 BLAS : 行列ー行列の演算

例えば、2個の一般行列の積を求めるstd::linalg::matrix_productはLevel 3 BLASルーチンxGEMMに対応する。 （実際のBLASルーチン名は、浮動小数点数型の単精度S／倍精度Dとそれぞれの複素数版C,Zとして、プレフィックスx部は文字4種類のいずれか。）

また、std::mdspanと組み合わせて利用する拡張機能が提供される。

共通要件

<linalg>ヘッダが提供する演算アルゴリズムは、スカラ値およびベクトル／行列の要素型として線形代数値型(linear algebra value types)を取り扱う。

線形代数値型はBLASが取り扱うfloat, double, std::complex<float>, std::complex<double>をはじめ、semiregularのモデルであれば良い。 また、線形代数値型の値初期化は加法元（算術型であれば値0）であること。

プログラム定義型を利用する場合、演算アルゴリズムはカスタマイゼーションポイントとしてabs, real, imag, conjを非修飾名で呼び出す。

std::mdspan向け機能拡張

名前	説明	対応バージョン
layout_blas_packed	行列要素のBLAS互換パックレイアウトに対応するレイアウトマッピングポリシー (class template)	C++26
scaled_accessor	scaled関数用のアクセサポリシー (class template)	C++26
scaled	要素値をスカラー倍した読み取り専用std::mdspanを作る (function template)	C++26
conjugated_accessor	conjugated関数用のアクセサポリシー (class template)	C++26
conjugated	読み取り専用の複素共役ビューstd::mdspanを作る (function template)	C++26
layout_transpose	transposed関数用のレイアウトマッピングポリシー (class template)	C++26
transposed	2次元std::mdspanの行列転置ビューを作る (function template)	C++26
conjugate_transposed	読み取り専用の複素共役転置ビューstd::mdspanを作る (function template)	C++26

BLASの要件

BLAS 1, 2, 3のアルゴリズムでテンプレートパラメータが特に制約されていない場合、テンプレートパラメータの名前によって以下の制約を満たすとする。

名前	制約
ExecutionPolicy	is_execution_policy<ExecutionPolicy>::value == true
Real	complex<Real>が規定できる型
Triangle	upper_triangle_tまたはlower_triangle_t
DiagonalStorage	implicit_unit_diagonal_tまたはexplicit_diagonal_t

BLAS 1アルゴリズム

std::mpspanをパラメータに持つ、この節の全てのアルゴリズムの計算量は渡されたstd::mdspanのextentsの積の最大値、つまりベクトルや行列の要素数の最大値に線形である。

名前	説明	対応バージョン
setup_givens_rotation_result	setup_givens_rotationの結果型 (class template)	C++26
setup_givens_rotation	xLARTG: ギブンス回転をセットアップする (function template)	C++26
apply_givens_rotation	xROT: ベクトルにギブンス回転を適用する (function template)	C++26
swap_elements	xSWAP: 2つのベクトル／行列の要素を交換する (function template)	C++26
scale	xSCAL: ベクトル／行列の要素にスカラ値を乗算する (function template)	C++26
copy	xCOPY: ベクトル／行列の要素をコピーする (function template)	C++26
add	xAXPY: 2つのベクトル／行列の要素を加算する (function template)	C++26
dot	xDOT, xDOTU: 2つのベクトルのドット積を求める (function template)	C++26
dotc	xDOTC: 2つのベクトルの複素共役ドット積を求める (function template)	C++26
sum_of_squares_result	vector_sum_of_squaresの結果型 (class template)	C++26
vector_sum_of_squares	xLASSQ: ベクトル要素の平方和を求める (function template)	C++26
vector_two_norm	xNRM2: ベクトルのユークリッドノルム(Euclidean norm)を求める (function template)	C++26
vector_abs_sum	xASUM: ベクトル要素の絶対値和を求める (function template)	C++26
vector_idx_abs_max	xIAMAX: ベクトル要素のうち最大絶対値インデクスを返す (function template)	C++26
matrix_frob_norm	行列のフロベニウスノルム(Frobenius norm)を求める (function template)	C++26
matrix_one_norm	行列の1ノルム(One norm)を求める (function template)	C++26
matrix_inf_norm	行列の無限大ノルム(Infinity norm)を求める (function template)	C++26

BLAS 2アルゴリズム

名前	説明	対応バージョン
matrix_vector_product	xGEMV: 一般行列とベクトルの積を求める (function template)	C++26
symmetric_matrix_vector_product	xSYMV: 対称行列とベクトルの積を求める (function template)	C++26
hermitian_matrix_vector_product	xHEMV: エルミート行列とベクトルの積を求める (function template)	C++26
triangular_matrix_vector_product	xTRMV: 三角行列とベクトルの積を求める (function template)	C++26
triangular_matrix_vector_solve	xTRSV: 三角行列を係数とする行列方程式を解く (function template)	C++26
matrix_rank_1_update	xGER, xGERU: 行列のRank-1更新 (function template)	C++26
matrix_rank_1_update_c	xGERC: 複素行列のRank-1更新 (function template)	C++26
symmetric_matrix_rank_1_update	xSYR: 対称行列のRank-1更新 (function template)	C++26
hermitian_matrix_rank_1_update	xHER: エルミート行列のRank-1更新 (function template)	C++26
symmetric_matrix_rank_2_update	xSYR2: 対称行列のRank-2更新 (function template)	C++26
hermitian_matrix_rank_2_update	xHER2: エルミート行列のRank-2更新 (function template)	C++26

BLAS 3アルゴリズム

名前	説明	対応バージョン
matrix_product	xGEMM: 2つの一般行列の積を求める (function template)	C++26
symmetric_matrix_product	xSYMM: 対称行列と行列の積を求める (function template)	C++26
hermitian_matrix_product	xHEMM: エルミート行列と行列の積を求める (function template)	C++26
triangular_matrix_product	xTRMM: 三角行列と行列の積を求める (function template)	C++26
triangular_matrix_left_product	xTRMM: In-placeに三角行列と行列の積を求める (function template)	C++26
triangular_matrix_right_product	xTRMM: In-placeに三角行列と行列の積を求める (function template)	C++26
symmetric_matrix_rank_k_update	xSYRK: 対称行列のRank-k更新 (function template)	C++26
hermitian_matrix_rank_k_update	xHERK: エルミート行列のRank-k更新 (function template)	C++26
symmetric_matrix_rank_2k_update	xSYR2K: 対称行列のRank-2k更新 (function template)	C++26
hermitian_matrix_rank_2k_update	xHER2K: エルミート行列のRank-2k更新 (function template)	C++26
triangular_matrix_matrix_left_solve	xTRSM: 三角行列の連立一次方程式を解く (function template)	C++26
triangular_matrix_matrix_right_solve	xTRSM: 三角行列の連立一次方程式を解く (function template)	C++26

タグ

<linalg>ヘッダでは、行列の格納順序や三角行列の上下をタグを使って表現している。

格納順序

行列の格納順序を表すタグ。

名前	説明	対応バージョン
column_major_t	列優先(column-major)を表すタグ型	C++26
column_major	列優先(column-major)を表すタグ値	C++26
row_major_t	行優先(row-major)を表すタグ型	C++26
row_major	行優先(row-major)を表すタグ値	C++26

三角行列

上三角行列か下三角行列かを表すタグ。

名前	説明	対応バージョン
upper_triangle_t	上三角行列を表すタグ型	C++26
upper_triangle	上三角行列を表すタグ値	C++26
lower_triangle_t	下三角行列を表すタグ型	C++26
lower_triangle	下三角行列を表すタグ値	C++26

対角成分

行列の全ての対角成分を暗黙に乗法における単位元とみなすかどうかを表すタグ。みなした場合、行列の対角成分にはアクセスせず、値が乗法における単位元であるとして計算する。

名前	説明	対応バージョン
implicit_unit_diagonal_t	全ての対角成分を暗黙に乗法における単位元とみなすタグ型	C++26
implicit_unit_diagonal	全ての対角成分を暗黙に乗法における単位元とみなすタグ値	C++26
explicit_diagonal_t	全ての対角成分にアクセスするタグ型	C++26
explicit_diagonal	全ての対角成分にアクセスするタグ値	C++26

バージョン

言語

• C++26

関連項目

• <mdspan>

参照

• P1673R13 A free function linear algebra interface based on the BLAS
• P1674R2: Evolving a Standard C++ Linear Algebra Library from the BLAS
• std::linalg: Linear Algebra Coming to Standard C++, CppCon 2023
• BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms)
• Numerics library