4. sph_legendre

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function
<cmath>

std::sph_legendre(C++17)

namespace std {
  double
    sph_legendre(unsigned int l,
                 unsigned int m,
                 double theta);               // (1) C++17
  floating-point-type
    sph_legendre(unsigned int l,
                 unsigned int m,
                 floating-point-type theta);  // (1) C++23

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    sph_legendre(unsigned int l,
                 unsigned int m,
                 Arithmetic theta);           // (2) C++17

  float
    sph_legendref(unsigned int l,
                  unsigned int m,
                  float theta);               // (3) C++17

  long double
    sph_legendrel(unsigned int l,
                  unsigned int m,
                  long double theta);         // (4) C++17
}

概要

球面調和関数 (spherical harmonic function) の θ 成分を求める。

  • (1) :
    • C++17 : doubleに対するオーバーロード
    • C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
  • (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
  • (3) : float型規定
  • (4) : long double型規定

戻り値

引数 l, m, theta について $Y_l^m(\theta, 0)$ を返す。 $Y_l^m(\theta, \phi)$ は球面調和関数 $$ Y_l^m(\theta, \phi) = (-1)^m \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi} \frac{(l - m)!}{(l + m)!}} P_l^m(\cos \theta) \exp(i m \phi) \quad \text{for } |m| \le l $$ である。 $P_l^m$ はルジャンドル陪関数 (assoc_legendre) である。

備考

  • l >= 128 の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
  • (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

例

#include <cmath>
#include <complex>
#include <iostream>

constexpr double pi = 3.141592653589793;

// 球面調和関数
std::complex<double> sph_harmonics(unsigned l, unsigned m, double theta, double phi) {
  return std::sph_legendre(l, m, theta) * std::polar(1.0, m * phi);
}

int main() {
  constexpr unsigned l = 1;
  constexpr unsigned m = 1;
  // Y_1^1(θ, φ) = - sqrt(3 / 8π) |sin θ| exp(iφ)

  std::cout << "#θ / π\tφ / π\tY_" << l << "^" << m << "(θ, φ)\n";
  for (double t : {0., 0.25, 0.5, 0.75, 1.}) {
    double theta = t * pi;
    for (double p : {0., 0.25, 0.5, 0.75, 1., 1.25, 1.5, 1.75, 2.}) {
      double phi = p * pi / 4;
      std::cout << t << "\t" << p << "\t" << sph_harmonics(l, m, theta, phi) << "\n";
      if (t == 0 || t == 1) break;
    }
  }
}

出力例

#θ / π  φ / π   Y_1^1(θ, φ)
0   0   (0,0)
0.25    0   (-0.244301,-0)
0.25    0.25    (-0.239607,-0.0476608)
0.25    0.5 (-0.225705,-0.09349)
0.25    0.75    (-0.203129,-0.135727)
0.25    1   (-0.172747,-0.172747)
0.25    1.25    (-0.135727,-0.203129)
0.25    1.5 (-0.09349,-0.225705)
0.25    1.75    (-0.0476608,-0.239607)
0.25    2   (-1.49591e-17,-0.244301)
0.5 0   (-0.345494,-0)
0.5 0.25    (-0.338856,-0.0674026)
0.5 0.5 (-0.319195,-0.132215)
0.5 0.75    (-0.287268,-0.191946)
0.5 1   (-0.244301,-0.244301)
0.5 1.25    (-0.191946,-0.287268)
0.5 1.5 (-0.132215,-0.319195)
0.5 1.75    (-0.0674026,-0.338856)
0.5 2   (-2.11554e-17,-0.345494)
0.75    0   (-0.244301,-0)
0.75    0.25    (-0.239607,-0.0476608)
0.75    0.5 (-0.225705,-0.09349)
0.75    0.75    (-0.203129,-0.135727)
0.75    1   (-0.172747,-0.172747)
0.75    1.25    (-0.135727,-0.203129)
0.75    1.5 (-0.09349,-0.225705)
0.75    1.75    (-0.0476608,-0.239607)
0.75    2   (-1.49591e-17,-0.244301)
1   0   (0,0)

バージョン

言語

  • C++17

処理系

備考

GCC (libstdc++)

GCC 7.1.0–8.0.0 では l < m の場合 ($Y_l^m = 0$) std::domain_error を送出する。

関連項目

参照