std::sph_legendre

namespace std {
  double
    sph_legendre(unsigned int l,
                 unsigned int m,
                 double theta);               // (1) C++17
  floating-point-type
    sph_legendre(unsigned int l,
                 unsigned int m,
                 floating-point-type theta);  // (1) C++23

  Promoted
    sph_legendre(unsigned int l,
                 unsigned int m,
                 Arithmetic theta);           // (2) C++17

  float
    sph_legendref(unsigned int l,
                  unsigned int m,
                  float theta);               // (3) C++17

  long double
    sph_legendrel(unsigned int l,
                  unsigned int m,
                  long double theta);         // (4) C++17
}

概要

球面調和関数 (spherical harmonic function) の θ 成分を求める。

(1) :
- C++17 : doubleに対するオーバーロード
- C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
(2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
(3) : float型規定
(4) : long double型規定

戻り値

引数 l, m, theta について $Y_{l}^{m} (θ, 0)$ (ただし $0 \leq m \leq l$ ) を返す。 $Y_{l}^{m} (θ, ϕ)$ は球面調和関数 $Y_{l}^{m} (θ, ϕ) = (- 1)^{m} \sqrt{\frac{2 l + 1}{4 π} \frac{(l - m)!}{(l + m)!}} P_{l}^{m} (\cos θ) \exp (i m ϕ) for | m | \leq l$ である。 $P_{l}^{m}$ はルジャンドル陪関数 (assoc_legendre) である。

備考

l >= 128 の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
(1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

球面調和関数

球面調和関数として使う場合には $ϕ$ 依存性は自分で与える必要がある。また、この標準関数は $m \geq 0$ にしか対応していないので、 $m < 0$ の時の球面調和関数を計算したければ自分で $Y_{l}^{| m |} (θ, 0)$ の値を調節して使う必要がある。ルジャンドル陪関数の性質 $P_{l}^{- m} (x) = (- 1)^{m} [(l - m)! / (l + m)!] P_{l}^{m} (x)$ より、一般の $m$ の球面調和関数は $\begin{aligned} Y_{l}^{m} (θ, ϕ) & = (- 1)^{(m + | m |) / 2} \sqrt{\frac{2 l + 1}{4 π} \frac{(l - | m |)!}{(l + | m |)!}} P_{l}^{| m |} (\cos θ) e^{i m ϕ} \\ = {\begin{cases} Y_{l}^{m} (θ, 0) e^{i m ϕ}, & (0 \leq m \leq l), \\ (- 1)^{| m |} Y_{l}^{| m |} (θ, 0) e^{i m ϕ}, & (- l \leq m < 0) . \end{cases} \end{aligned}$ で与えられる。

#include <cmath>
#include <complex>
#include <numbers>

// 球面調和関数の実装例
std::complex<double> sph_harmonics(unsigned l, int m, double theta, double phi) {
  if (m >= 0)
    return std::sph_legendre(l, (unsigned) m, theta) * std::polar(1.0, m * phi);
  else
    return std::sph_legendre(l, (unsigned) -m, theta) * std::polar(1.0, m * (phi - std::numbers::pi));
}

また線形結合を取り直して実数にした、実数球面調和関数 $Y_{l m} (θ, ϕ)$ を計算することもできる。

$Y_{l m} (θ, ϕ) = {\begin{cases} \frac{(- 1)^{m} Y_{l}^{| m |} (θ, ϕ) - Y_{l}^{- | m |} (θ, ϕ)}{\sqrt{2} i} = \sqrt{2} (- 1)^{| m |} Y_{l}^{| m |} (θ, 0) \sin (| m | ϕ), & (- l \leq m < 0), \\ Y_{l}^{0} = Y_{l}^{0} (θ, 0), & (m = 0), \\ \frac{(- 1)^{m} Y_{l}^{| m |} (θ, ϕ) + Y_{l}^{- | m |} (θ, ϕ)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} (- 1)^{| m |} Y_{l}^{| m |} (θ, 0) \cos (| m | ϕ), & (0 < m \leq l) . \end{cases}$

#include <cmath>
#include <numbers>

// 実数球面調和関数の実装例
double real_sph_harmonics(unsigned l, int m, double theta, double phi) {
  if (m == 0)
    return std::sph_legendre(l, 0u, theta);
  else if (m > 0)
    return std::numbers::sqrt2 * std::sph_legendre(l, (unsigned) m, theta) * std::cos(m * (phi - std::numbers::pi));
  else
    return std::numbers::sqrt2 * std::sph_legendre(l, (unsigned) -m, theta) * std::sin(-m * (phi - std::numbers::pi));
}

例

#include <cmath>
#include <complex>
#include <numbers>
#include <iostream>

// 球面調和関数
std::complex<double> sph_harmonics(unsigned l, int m, double theta, double phi) {
  if (m >= 0)
    return std::sph_legendre(l, (unsigned) m, theta) * std::polar(1.0, m * phi);
  else
    return std::sph_legendre(l, (unsigned) -m, theta) * std::polar(1.0, m * (phi - std::numbers::pi));
}

int main() {
  constexpr unsigned l = 1;
  constexpr unsigned m = 1;
  // Y_1^1(θ, φ) = - sqrt(3 / 8π) |sin θ| exp(iφ)

  std::cout << "#θ / π\tφ / π\tY_" << l << "^" << m << "(θ, φ)\n";
  for (double t : {0., 0.25, 0.5, 0.75, 1.}) {
    double theta = t * std::numbers::pi;
    for (double p : {0., 0.25, 0.5, 0.75, 1., 1.25, 1.5, 1.75, 2.}) {
      double phi = p * std::numbers::pi / 4;
      std::cout << t << "\t" << p << "\t" << sph_harmonics(l, m, theta, phi) << "\n";
      if (t == 0 || t == 1) break;
    }
  }
}

 
#include <cmath>
#include <complex>
#include <numbers>
#include <iostream>
​
// 球面調和関数
std::complex<double> sph_harmonics(unsigned l, int m, double theta, double phi) {
  if (m >= 0)
    return std::sph_legendre(l, (unsigned) m, theta) * std::polar(1.0, m * phi);
  else
    return std::sph_legendre(l, (unsigned) -m, theta) * std::polar(1.0, m * (phi - std::numbers::pi));
}
​
int main() {
  constexpr unsigned l = 1;
  constexpr unsigned m = 1;
  // Y_1^1(θ, φ) = - sqrt(3 / 8π) |sin θ| exp(iφ)
​

出力例

#θ / π  φ / π   Y_1^1(θ, φ)
0   0   (0,0)
0.25    0   (-0.244301,-0)
0.25    0.25    (-0.239607,-0.0476608)
0.25    0.5 (-0.225705,-0.09349)
0.25    0.75    (-0.203129,-0.135727)
0.25    1   (-0.172747,-0.172747)
0.25    1.25    (-0.135727,-0.203129)
0.25    1.5 (-0.09349,-0.225705)
0.25    1.75    (-0.0476608,-0.239607)
0.25    2   (-1.49591e-17,-0.244301)
0.5 0   (-0.345494,-0)
0.5 0.25    (-0.338856,-0.0674026)
0.5 0.5 (-0.319195,-0.132215)
0.5 0.75    (-0.287268,-0.191946)
0.5 1   (-0.244301,-0.244301)
0.5 1.25    (-0.191946,-0.287268)
0.5 1.5 (-0.132215,-0.319195)
0.5 1.75    (-0.0674026,-0.338856)
0.5 2   (-2.11554e-17,-0.345494)
0.75    0   (-0.244301,-0)
0.75    0.25    (-0.239607,-0.0476608)
0.75    0.5 (-0.225705,-0.09349)
0.75    0.75    (-0.203129,-0.135727)
0.75    1   (-0.172747,-0.172747)
0.75    1.25    (-0.135727,-0.203129)
0.75    1.5 (-0.09349,-0.225705)
0.75    1.75    (-0.0476608,-0.239607)
0.75    2   (-1.49591e-17,-0.244301)
1   0   (0,0)

バージョン

言語

C++17

処理系

Clang: ??
GCC: 7.1.0 ✅
ICC: ??
Visual C++: ??

備考

GCC (libstdc++)

GCC 7.1.0–8.0.0 では l < m の場合 ( $Y_{l}^{m} = 0$ ) std::domain_error を送出する。

参照

N3060 JTC1.22.29124 Programming Language C++ — Special Math Functions
WG21 P0226R1 Mathematical Special Functions for C++17, v5
ISO/IEC 29124:2010 Information technology -- Programming languages, their environments and system software interfaces -- Extensions to the C++ Library to support mathematical special functions
P1467R9 Extended floating-point types and standard names
- C++23で導入された拡張浮動小数点数型への対応として、float、double、long doubleのオーバーロードをfloating-point-typeのオーバーロードに統合し、拡張浮動小数点数型も扱えるようにした

Class / Function / Type

Header file

Other / All

std::sph_legendre

概要

戻り値

備考

球面調和関数

例

出力例

バージョン

言語

処理系

備考

GCC (libstdc++)

関連項目

参照