4. legendre

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function
<cmath>

std::legendre(C++17)

namespace std {
  double
    legendre(unsigned int n,
             double x);              // (1) C++17
  floating-point-type
    legendre(unsigned int n,
             floating-point-type x); // (1) C++23

  Promoted
    legendre(unsigned int n,
             Arithmetic x);          // (2) C++17

  float
    legendref(unsigned int n,
              float x);              // (3) C++17

  long double
    legendrel(unsigned int n,
              long double x);        // (4) C++17
}

概要

ルジャンドル多項式 (Legendre polynomials) を求める。

  • (1) :
    • C++17 : doubleに対するオーバーロード
    • C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
  • (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
  • (3) : float型規定
  • (4) : long double型規定

戻り値

引数 l, x のルジャンドル多項式 $$ P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{\mathrm{d}^l}{\mathrm{d}x^l} (x^2 - 1)^l \quad \text{for } |x| \le 1 $$ を返す。

備考

  • n >= 128 の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
  • (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

例

#include <cmath>
#include <iostream>

void p(unsigned n) {
  for (double x : {-1., 0., 1.})
    std::cout << "legendre(" << n << ", " << x << ") = " << std::legendre(n, x) << "\n";
  std::cout << "\n";
}

int main() {
  p(0); // P0(x) = 1
  p(1); // P1(x) = x
  p(2); // P2(x) = (3x^2 - 1) / 2
  p(3); // P3(x) = (5x^3 - 3x) / 2
}

出力例

legendre(0, -1) = 1
legendre(0, 0) = 1
legendre(0, 1) = 1

legendre(1, -1) = -1
legendre(1, 0) = 0
legendre(1, 1) = 1

legendre(2, -1) = 1
legendre(2, 0) = -0.5
legendre(2, 1) = 1

legendre(3, -1) = -1
legendre(3, 0) = 0
legendre(3, 1) = 1

バージョン

言語

  • C++17

処理系

実装例

閉形式

$$ P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \sum_{j=0}^{\lfloor l/2 \rfloor} (-1)^j \frac{l! (2l-2j)!}{j! (l-j)! (l-2j)!} x^{l-2j} $$

漸化式

$$ P_l(x) = \frac{(2l-1) xP_{l-1}(x) - (l-1) P_{l-2}(x)}{l}; P_0(x) = 1, P_1(x) = x $$

関連項目

参照