std::assoc_legendre

namespace std {
  double
    assoc_legendre(unsigned int l,
                   unsigned int m,
                   double x);              // (1) C++17
  floating-point-type
    assoc_legendre(unsigned int l,
                   unsigned int m,
                   floating-point-type x); // (1) C++23

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    assoc_legendre(unsigned int l,
                   unsigned int m,
                   Arithmetic x);          // (2) C++17

  float
    assoc_legendref(unsigned int l,
                    unsigned int m,
                    float x);              // (3) C++17

  long double
    assoc_legendrel(unsigned int l,
                    unsigned int m,
                    long double x);        // (4) C++17
}

概要

ルジャンドル陪関数 (associated Legendre functions) を計算する。

• (1) :
  • C++17 : doubleに対するオーバーロード
  • C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
• (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
• (3) : float型規定
• (4) : long double型規定

戻り値

引数 l, m, x のルジャンドル陪関数 $$P_l^m(x)=(1-x^2{)}^{m/2}\frac{{\mathrm{d}}^m}{\mathrm{d}{x}^m}{P}_l(x)\text{for }|x|\le 1$$ を返す。右辺の $P_l(x)$ はルジャンドル多項式 (legendre)。

備考

• l >= 128 の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
• (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

負の m の対応

この標準関数は $m$ が正の場合にしか対応していない。 一方でルジャンドル陪関数はロドリゲスの公式を用いて負の $m$ に対して自然に拡張され、 このことは球面調和関数を定義する上でも使われる。 負の $m$ に対してもルジャンドル陪関数を計算する必要がある場合は、関係式 $$P_l^{-m}(x)=(-1{)}^m\frac{(l-m)!}{(l+m)!}{P}_l^m(x)$$ を用いる必要がある。

#include <cmath>

// 負の m にも対応した実装例
double assoc_legendre(unsigned l, int m, double x) {
  if (m >= 0)
    return std::assoc_legendre(l, (unsigned) m, x);
  else
    return std::pow(-1.0, m) * (std::tgamma(1.0 + l + m) / std::tgamma(1.0 + l - m)) * std::assoc_legendre(l, (unsigned) -m, x);
}

上記の例では簡単のために階乗をガンマ関数 $n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)$ (tgamma) で計算しているが、 計算効率やオーバーフローなどを考えると、直接 $(l+|m|)\cdots (l-|m|+1)$ で割り算したり、係数を事前計算しておくなど工夫すると良い。

例

#include <cmath>
#include <iostream>

void p(unsigned l, unsigned m) {
  for (double x : {-1., 0., 1.})
    std::cout << "assoc_legendre(" << l << ", " << m << ", " << x << ") = " << std::assoc_legendre(l, m, x) << "\n";
  std::cout << "\n";
}

int main() {
  p(0, 0); // P_0^0(x) = 1
  p(1, 0); // P_1^0(x) = x
  p(1, 1); // P_1^1(x) = (1 - x^2)^(1/2)
  p(2, 0); // P_2^0(x) = (3x^2 - 1) / 2
  p(2, 1); // P_2^1(x) = 3x (1 - x^2)^(1/2)
  p(2, 2); // P_2^2(x) = 3 (1 - x^2)
}

#include <cmath>

#include <iostream>

​

void p(unsigned l, unsigned m) {

  for (double x : {-1., 0., 1.})

    std::cout << "assoc_legendre(" << l << ", " << m << ", " << x << ") = " << std::assoc_legendre(l, m, x) << "\n";

  std::cout << "\n";

}

​

int main() {

  p(0, 0); // P_0^0(x) = 1

  p(1, 0); // P_1^0(x) = x

  p(1, 1); // P_1^1(x) = (1 - x^2)^(1/2)

  p(2, 0); // P_2^0(x) = (3x^2 - 1) / 2

  p(2, 1); // P_2^1(x) = 3x (1 - x^2)^(1/2)

  p(2, 2); // P_2^2(x) = 3 (1 - x^2)

}

​

出力例

assoc_legendre(0, 0, -1) = 1
assoc_legendre(0, 0, 0) = 1
assoc_legendre(0, 0, 1) = 1

assoc_legendre(1, 0, -1) = -1
assoc_legendre(1, 0, 0) = 0
assoc_legendre(1, 0, 1) = 1

assoc_legendre(1, 1, -1) = -0
assoc_legendre(1, 1, 0) = -1
assoc_legendre(1, 1, 1) = -0

assoc_legendre(2, 0, -1) = 1
assoc_legendre(2, 0, 0) = -0.5
assoc_legendre(2, 0, 1) = 1

assoc_legendre(2, 1, -1) = 0
assoc_legendre(2, 1, 0) = -0
assoc_legendre(2, 1, 1) = -0

assoc_legendre(2, 2, -1) = 0
assoc_legendre(2, 2, 0) = 3
assoc_legendre(2, 2, 1) = 0

バージョン

言語

• C++17

処理系

• Clang: ??
• GCC: 7.1.0 ✅
• ICC: ??
• Visual C++: ??

備考

GCC (libstdc++)

GCC 7.1.0–8.0.0 では l < m の場合 ($P_l^m=0$) std::domain_error を送出する。

GCC 7.1.0–8.0.0 では $(-1{)}^m$ 倍された値を返す。

実装例

閉形式

$$P_l^m(x)=\frac{1}{2^{l}l!}(1-x^2{)}^{m/2}\sum _{j=0}^{\lfloor (l-m)/2\rfloor }(-1{)}^j\frac{l!(2l-2j)!}{j!(l-j)!(l-m-2j)!}{x}^{l-m-2j}$$

漸化式

$$P_l^m(x)=\frac{(2l-1)x{P}_{l-1}^m(x)-(l+m-1)P_{l-2}^m(x)}{l-m};P_{m-1}^m(x)=0,P_m^m(x)=(2m-1)!!(1-x^2{)}^{m/2}$$

関連項目

• ルジャンドル多項式 legendre
• 球面調和関数の θ 成分 sph_legendre

参照

• N3060 JTC1.22.29124 Programming Language C++ — Special Math Functions
• WG21 P0226R1 Mathematical Special Functions for C++17, v5
• ISO/IEC 29124:2010 Information technology -- Programming languages, their environments and system software interfaces -- Extensions to the C++ Library to support mathematical special functions
• P1467R9 Extended floating-point types and standard names
  • C++23で導入された拡張浮動小数点数型への対応として、float、double、long doubleのオーバーロードをfloating-point-typeのオーバーロードに統合し、拡張浮動小数点数型も扱えるようにした